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雑談33改め考察1 真言の期待値

たま~にこうやってネタ詰め込みすぎな記事を書きたくなるから困る。
本当はもう一つネタを投下する予定だったなんて、口が裂けても言えない。

例によって長いので、適宜分割・休憩推奨




真言・裏真言の期待値ってどれくらい?

ぬちょ縛の第4章について考えていたんですが、
少なくともラファは使うことになると思うんですよ。
裏コンセプトが『固有キャラを縛って使う』ですからね。

そこで某真言布教動画始め、いくつかのサイトで勉強してきたんですが、
そこで疑問に思ったのが真言・裏真言の期待値。
今回はこれについて考えてみたいと思います。


|※注意事項

|・以下全てPS版を前提にして考えています。
| PSP版は変数を弄ってみてください。

|・私は高校数学以上の確率論を習っていないので、
| 気をつけてはいますが、言葉の使い方など怪しいことがありえます。
| ニュアンスで補うか、コメントにて指摘していただけると助かります。

|・解析している方はぜひご協力お願いします。

|・その他誤字脱字はご愛敬



(1) 真言の“期待値”

まず、一口に『期待値』と言ってもそれはいくつかの可能性があります。
普通は実際に与えるダメージの期待値が問題になるんですが、
真言の場合はむしろターゲットにヒットする回数が問題となります。
というかそれが分からないとダメージ期待値なんか出せません。

ということでまずは真言のヒット期待値を出したいと思います。


(2) 真言のヒット期待値の“要素”

じゃあ早速真言のヒット期待値を・・・
といって簡単に出せるようなら苦労は要らないし、今更私なんかが考える必要もありません。

真言の難しいところは、その考慮要素の多さです。
変にご託を並べても混乱するだけなので、具体的に挙げてみましょう。

①発動回数とその割合
②発動場所とその割合
③発動場所の数
④ターゲットの数


1) ①発動回数とその割合、②発動場所とその割合

これらはその通り。
真言は1~6回、効果範囲内のマスにランダムで発動します。
それぞれの確率が等しいか係数がかかっているかは不明ですが、
ここでは等確率で発生するものとしておきます。

つまりある真言が一回だけ発動する確率は1/6、
あるマスに一回発動する確率は1/5(効果範囲最大の場合)ということ。

そして①と②は確率論的に『独立』していると言えます。
従ってある真言が一回だけ発動し、かつそれがあるマスに発動する確率は(1/6)×(1/5)となります。


2) ③発動場所の数、④ターゲットの数

③は正確には発動可能性のあるマスの数、すなわちある真言の効果範囲になっているマスの数。
真言の効果範囲は水平2×垂直3と垂直方向に強い(そしてそれが往々にしてマイナスに働く)のですが、
今回重要なのは水平効果範囲が2であることで、
このために真言が最大5つのマスで発動する可能性のある技だと言うことはみなさんご承知だと思います。

それ故に真言はギャンブル技だとか、使い勝手が悪いと言われ、
今回はその真偽を検証する意味もあるわけですが、
この発動場所の数が期待値の計算を一つ複雑にします。

当然ですが、発動場所の数は①②の要素のように確率的に変動するものではありません。
5マスの場合はそれ、4マスの場合はそれとして、両立しない(従って独立ではない)別個の事象として現れます。
いわゆる場合分けを行うようなケースですね。

④は効果範囲内にいるターゲットの数のこと。
これも互いに両立しない(従って独立ではない)事象ですが、
面倒なので今回は1人を前提に話を進めます。


(3) 計算

前置きが長くなりましたが、いよいよ期待値の計算に入りましょう。
先にも書いたように、ターゲットの数は1人であることを前提にします。

そしてヒット数をX、発動回数をY、発動場所の数をZとし、
場合によって(X,Y,Z)といった形を用い、
確率はPもしくはP(X,Y,Z)等、
期待値はEもしくはE(X,Y,Z)等
と表記します。

|Xは0以上Y以下の整数
|Yは1以上6以下の自然数
|Zは1以上5以下の自然数
|P(X,Y,Z)=1/6(Z=1)
|P(X,Y,Z)=YCX*(Z-1/Z)^(Y-X)*(1/Z)^(X)*(1/6)(Z≠1)
|E(X,Y,Z)=ΣX*P(X,Y,Z)

ここも長いので斜め読むか結果だけ見るのが吉

1) Z=5

(a) Y=1

P(0,1,5)=(4/5)*(1/6)
P(1,1,5)=(1/5)*(1/6)

(b) Y=2

P(0,2,5)=(4/5)^2*(1/6)=(16/25)*(1/6)
P(1,2,5)=2C1*(4/5)(1/5)*(1/6)=(8/25)*(1/6)
P(2,2,5)=(1/5)^2*(1/6)=(1/25)*(1/6)

(c) Y=3

P(0,3,5)=(4/5)^3*(1/6)=(64/125)*(1/6)
P(1,3,5)=3C1*(4/5)^2(1/5)*(1/6)=(48/125)*(1/6)
P(2,3,5)=3C2*(4/5)(1/5)^2*(1/6)=(12/125)*(1/6)
P(3,3,5)=(1/5)^3*(1/6)=(1/125)*(1/6)

(d) Y=4

P(0,4,5)=(4/5)^4*(1/6)=(256/625)*(1/6)
P(1,4,5)=4C1*(4/5)^3(1/5)*(1/6)=(256/625)*(1/6)
P(2,4,5)=4C2*(4/5)^2(1/5)^2*(1/6)=(96/625)*(1/6)
P(3,4,5)=4C3*(4/5)(1/5)^3*(1/6)=(16/625)*(1/6)
P(4,4,5)=(1/5)^4*(1/6)=(1/625)*(1/6)

(e) Y=5

P(0,5,5)=(4/5)^5*(1/6)=(1024/3125)*(1/6)
P(1,5,5)=5C1*(4/5)^4(1/5)*(1/6)=(1280/3125)*(1/6)
P(2,5,5)=5C2*(4/5)^3(1/5)^2*(1/6)=(640/3125)*(1/6)
P(3,5,5)=5C3*(4/5)^2(1/5)^3*(1/6)=(160/3125)*(1/6)
P(4,5,5)=5C4*(4/5)(1/5)^4*(1/6)=(20/3125)*(1/6)
P(5,5,5)=(1/5)^5*(1/6)=(1/3125)*(1/6)

(f) Y=6

P(0,6,5)=(4/5)^6*(1/6)=(4096/15625)*(1/6)
P(1,6,5)=6C1*(4/5)^5(1/5)*(1/6)=(6144/15625)*(1/6)
P(2,6,5)=6C2*(4/5)^4(1/5)^2*(1/6)=(3840/15625)*(1/6)
P(3,6,5)=6C3*(4/5)^3(1/5)^3*(1/6)=(1280/15625)*(1/6)
P(4,6,5)=6C4*(4/5)^2(1/5)^4*(1/6)=(240/15625)*(1/6)
P(5,6,5)=6C5*(4/5)(1/5)^5*(1/6)=(24/15625)*(1/6)
P(6,6,5)=(1/5)^6*(1/6)=(1/15625)*(1/6)


以上より、
P(0,Y,5)=[(4/5)+(16/25)+(64/125)+(256/625)+(1024/3125)+(4096/15625)]*(1/6)=(46116/15625)*(1/6)
P(1,Y,5)=[(1/5)+(8/25)+(48/125)+(256/625)+(1280/3125)+(6144/15625)]*(1/6)=(33069/15625)*(1/6)
P(2,Y,5)=[(1/25)+(12/125)+(96/625)+(640/3125)+(3840/15625)]*(1/6)=(11565/15625)*(1/6)
P(3,Y,5)=[(1/125)+(16/625)+(160/3125)+(1280/15625)]*(1/6)=(2605/15625)*(1/6)
P(4,Y,5)=[(1/625)+(20/3125)+(240/15625)]*(1/6)=(365/15625)*(1/6)
P(5,Y,5)=[(1/3125)+(24/15625)]*(1/6)=(29/15625)*(1/6)
P(6,Y,5)=[(1/15625)]*(1/6)

従ってE(X,Y,5)=7/10


2) Z=4

(a) Y=1

P(0,1,3)=(2/3)*(1/6)
P(1,1,3)=(1/3)*(1/6)

(b) Y=2

P(0,2,3)=(2/3)^2*(1/6)
P(1,2,3)=2C1*(2/3)(1/3)*(1/6)
P(2,2,3)=(1/)^2*(1/6)

(c) Y=3

P(0,3,3)=(2/3)^3*(1/6)
P(1,3,3)=3C1*(2/3)^2(1/3)*(1/6)
P(2,3,3)=3C2*(2/3)(1/3)^2*(1/6)
P(3,3,3)=(1/3)^3*(1/6)

(d) Y=4

P(0,4,3)=(2/3)^4*(1/6)
P(1,4,3)=4C1*(2/3)^3(1/3)*(1/6)
P(2,4,3)=4C2*(2/3)^2(1/3)^2*(1/6)
P(3,4,3)=4C3*(2/3)(1/3)^3*(1/6)
P(4,4,3)=(1/3)^4*(1/6)

(e) Y=5

P(0,5,3)=(2/3)^5*(1/6)
P(1,5,3)=5C1*(2/3)^4(1/3)*(1/6)
P(2,5,3)=5C2*(2/3)^3(1/3)^2*(1/6)
P(3,5,3)=5C3*(2/3)^2(1/3)^3*(1/6)
P(4,5,3)=5C4*(2/3)(1/3)^4*(1/6)
P(5,5,3)=(1/3)^5*(1/6)

(f) Y=6

P(0,6,3)=(2/3)^6*(1/6)
P(1,6,3)=6C1*(2/3)^5(1/3)*(1/6)
P(2,6,3)=6C2*(2/3)^4(1/3)^2*(1/6)
P(3,6,3)=6C3*(2/3)^3(1/3)^3*(1/6)
P(4,6,3)=6C4*(2/3)^2(1/3)^4*(1/6)
P(5,6,3)=6C5*(2/3)(1/3)^5*(1/6)
P(6,6,3)=(1/3)^6*(1/6)


以上より、
P(0,Y,4)=(10101/4096)*(1/6)
P(1,Y,4)=(9094/4096)*(1/6)
P(2,Y,4)=(3991/4096)*(1/6)
P(3,Y,4)=(1156/4096)*(1/6)
P(4,Y,4)=(211/4096)*(1/6)
P(5,Y,4)=(22/4096)*(1/6)
P(6,Y,4)=(1/4096)*(1/6)


従ってE(X,Y,4)=7/8


3) Z=3

P(0,Y,3)=(1330/729)*(1/6)
P(1,Y,3)=(1611/729)*(1/6)
P(2,Y,3)=(939/729)*(1/6)
P(3,Y,3)=(379/729)*(1/6)
P(4,Y,3)=(99/729)*(1/6)
P(5,Y,3)=(15/729)*(1/6)
P(6,Y,3)=(1/729)*(1/6)


従ってE(X,Y,3)=7/6

4) Z=2

P(0,Y,2)=(63/64)*(1/6)
P(1,Y,2)=(120/64)*(1/6)
P(2,Y,2)=(99/64)*(1/6)
P(3,Y,2)=(64/64)*(1/6)
P(4,Y,2)=(29/64)*(1/6)
P(5,Y,2)=(8/64)*(1/6)
P(6,Y,2)=(1/64)*(1/6)


従ってE(X,Y,2)=7/4

5) Z=1

E(X,Y,1)=7/2


以上、1)~5)より、
E(X,Y,Z)=7/2Z


この結果より、仮定的ではあるが、
Z=1,2,・・・,5がそれぞれ40/100,35/100,20/100,4/100,1/100の確率で現れるとすると、
E(X,Y,Z)=(7/10)*(40/100)+(7/8)*(35/100)+(7/6)*(20/100)+(4/100)*(1/5)+(1/100)*(1/5)
    ≒11/12


(4) この段階での結論

以上が今回の考察の結果です。

ターゲットの数が2人以上の場合の計算がまだですが、
ターゲットが増えれば当然期待値も大きくなると考えられるので、
(結局は運用の仕方次第ですが、)
真言のヒット期待値は1に収束すると見ていいのではないでしょうか。

これは例えば魔法AT7のラファが同詠唱速度である、
①真言・阿修羅と
②黒魔法・ファイアをそれぞれ使った場合、
(ダメージ期待値に関する考察はまだ行っていませんが)
阿修羅のダメージ期待値が56であるのに対して
ファイアは47(相手のFaithは70と仮定)であること、
更にファイアの詠唱にはMPが必要であることを考えると、
真言は黒魔法よりも優れていることの証左だといえるのではないでしょうか!
(さらに真言は魔法ATが増す毎に威力の増加幅が大きくなります)

ラファ一人旅は現在休止中ですが、
真言は案外使えること、ガッテンしていただけたのではないでしょうか!?
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◆ぬこれす◆

>ローブ案さん

頑張ったのに反応なさ過ぎて死ぬところでした。
しかし感心する声が完全に乾いてますよw

こうなった絶対真言活躍動画を見せてやンよッ!
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